Примерные билеты по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации

Примерные билеты по геометрии
для выпускников 9 классов общеобразовательных
учреждений Российской Федерации

Билет № 1
1. Сформулируйте определение окружности, вписанной в треугольник.
Сформулируйте теорему о центре вписанной окружности. Приведите пример применения теоремы о центре вписанной окружности.
2. Сформулируйте определение трапеции. Сформулируйте определение средней линии трапеции. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.
3. Задача:
Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности,
равна 2 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту
окружность.
4. Задача:
В треугольник ABC вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна стороне АС, а вершина Е
лежит на стороне АС. Найдите высоту треугольника ABC, если AС = 16 см;
DF = 8 см.

Билет № 2
1. Сформулируйте определение синуса острого угла прямоугольного
треугольника. Приведите пример его применения при решении прямоугольных треугольников.
2. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте и докажите признак равнобедренного треугольника.
3. Задача:
Стороны треугольника равны 3 см, 2 см и 3 см. Определите вид этого
треугольника.
4. Задача:
На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена
окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину
стороны AD. Найдите углы параллелограмма.

Билет № 3
1. Сформулируйте теорему Фалеса. Приведите пример ее применения.
2. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренного
треугольника.
3. Задача:
Угол между высотами BK и BL параллелограмма АВСD, проведенными
из вершины его острого угла B, в четыре раза больше самого угла АВС.
Найдите углы параллелограмма.
4. Задача:
Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно
основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К – середину высоты ВH
проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке
N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

Билет № 4
1. Сформулируйте определение окружности. Приведите формулу длины
окружности. Приведите формулу длины дуги окружности. Приведите примеры применения либо формулы длины окружности, либо формулы длины
дуги окружности.
2. Сформулируйте определение медианы треугольника. Сформулируйте и докажите свойство медианы равнобедренного треугольника.
3. Задача:
Сторона ромба равна 10, а один из его углов равен 30°. Найдите радиус
окружности, вписанной в ромб.
4. Задача:
Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на
два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой
трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна 4?

Билет № 5
1. Сформулируйте неравенство треугольника. Приведите пример его
применения.
2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте
и докажите свойство диагоналей параллелограмма.
3. Задача:
Найдите больший угол треугольника, если две его стороны видны из
центра описанной окружности под углами 100° и 120°.
4. Задача:
Известно, что в равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 5,
можно вписать окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Билет № 6
1. Приведите формулы площади прямоугольника и площади параллелограмма. Приведите примеры применения площади прямоугольника
либо площади параллелограмма.
2. Сформулируйте определение равных треугольников. Сформулируйте
признаки равенства треугольников и докажите один из них по выбору.
3. Задача:
Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника.
4. Задача:
В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ
и ВС в точках E и F соответственно. Касательная MK к этой окружности
пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках M и K. Найдите
периметр треугольника ВMK, если BE = 6 см.

Билет № 7
1. Приведите формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников. Приведите пример их применения для
N угольников для любого n ≤ 6 (n определяет учащийся).
2. Сформулируйте определение параллельных прямых. Сформулируйте
аксиому параллельных прямых. Сформулируйте признаки параллельности
прямых и докажите один из них по выбору.
3. Задача:
В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой прямого угла
ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне AB трапеции, если
∠ BAD = 30°.
4. Задача:
Треугольник АBC, стороны которого 13 см,14 см и 15 см, разбит на три
треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М
с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника BMC.

Билет № 8
1. Сформулируйте определения круга и сектора. Приведите формулы
площади круга и площади сектора. Приведите пример применения одной
из формул: либо площади круга, либо площади сектора по выбору учащегося.
2. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
3. Задача:
Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см2.
Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7 см.
4. Задача:
В равнобокой трапеции одно из оснований в два раза больше другого.
Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 27 __3_ см2.

Билет № 9
1. Сформулируйте определение окружности, описанной около треугольника. Сформулируйте теорему о центре описанной окружности. Приведите
пример применения теоремы о центре описанной окружности.
2. Сформулируйте определение средней линии треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
3. Задача:
Из вершины B в треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса BD. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD, если углы BAC
и BCA равны 20° и 60° соответственно.
4. Задача:
Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним
образом в точке А. Через точку А проходит их общая секущая ВС, причем
точка В принадлежит большей окружности. Найдите длину отрезка AB, если
отрезок AC равен 5 см.

Билет № 10
1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Приведите
пример ее применения.
2. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте и докажите
свойство диагоналей ромба.
3. Задача:
Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D, такая, что
∠ BAD = ∠ BCD = 15°. Найдите угол ADC.
4. Задача:
Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла. Найдите длину дуги, заключенной внутри треугольника, если R =8—π.

Билет № 11
1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника. Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. Приведите пример
ее применения.
2. Сформулируйте определение прямоугольника. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.
3. Задача:
Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром
которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину
В, если длина всей окружности равна 30 см.
4. Задача:
При пересечении двух прямых n и m секущей k образовалось восемь
углов. Четыре из них равны 60°, а четыре другие – 120°. Определите взаимное расположение прямых n и m.

Билет № 12
1. Приведите формулы площади треугольника. Приведите примеры их
применения.
2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте
и докажите признак параллелограмма по выбору учащегося.
3. Задача:
Точки A, B и C делят окружность на три части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC =
= 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника ABC.
4. Задача:
Углы при основании AD трапеции ABCD равны 60° и 30°, AD = 17 см,
ВС = 7 см. Найдите боковые стороны.

Билет № 13
1. Сформулируйте определение тангенса острого угла прямоугольного
треугольника. Приведите пример его применения при решении прямоугольных треугольников.
2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте
и докажите свойства углов и сторон параллелограмма.
3. Задача:
Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 6 см и 2 см. Определите длину третьей стороны этого треугольника.
4. Задача:
Два круга, радиусы которых равны 5 см, имеют общую хорду длины
5 см. Найдите площадь общей части этих кругов.

Билет № 14
1. Сформулируйте определение внешнего угла треугольника. Сформулируйте теорему о свойстве внешнего угла треугольника. Приведите пример ее применения.
2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. Приведите пример
ее применения для решения треугольников.
3. Задача:
Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 8 см. Найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.
4. Задача:
В параллелограмме АВСD диагональ BD перпендикулярна стороне AD.
Найдите АС, если AD = 6 см, BD = 5 см.

Билет № 15
1. Приведите формулу площади трапеции. Приведите пример ее применения.
2. Сформулируйте определение равных треугольников. Сформулируйте
признаки равенства прямоугольных треугольников и докажите один из них
по выбору.
3. Задача:
Большая диагональ ромба равна 12 см, а один из его углов равен 60°.
Найдите длину вписанной в него окружности.
4. Задача:
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит
высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

Билет № 16
1. Сформулируйте теорему о зависимости между сторонами и углами
треугольника. Приведите пример ее применения.
2. Сформулируйте определение подобных треугольников. Сформулируйте признаки подобия треугольников и докажите один из них по выбору.
3. Задача:
Найдите меньший угол параллелограмма, если его стороны равны
1 и 3, а одна из диагоналей равна 7.
4. Задача:
В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на
стороне АB и по одной вершине – на сторонах АC и ВС. Найдите площадь
квадрата, если АB = 40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет
длину 24 см.

Билет № 17
1. Сформулируйте определение вектора. Сформулируйте определение
суммы векторов. Сформулируйте свойства сложения векторов. Приведите
примеры сложения векторов.
2. Сформулируйте и докажите теорему синусов. Приведите пример ее
применения для решения треугольников.
3. Задача:
Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен
72°. Определите, что больше: хорда или радиус окружности.
4. Задача:
В трапеции АВСD стороны АВ и СD равны, биссектриса тупого угла В
перпендикулярна диагонали АС и отсекает от данной трапеции параллелограмм. Найдите величину угла ВСD.

Билет № 18
1. Сформулируйте определение вектора. Сформулируйте определение
произведения вектора на число. Сформулируйте свойства произведения
вектора на число. Приведите примеры произведения вектора на число.
2. Сформулируйте определения центрального угла окружности и угла,
вписанного в окружность. Сформулируйте и докажите теорему об измерении вписанного угла.
3. Задача:
Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD.
Найдите АВ, если АС = 12 см.
4. Задача:
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями 17 см и 25 см диагональ AC является биссектрисой острого угла A. Найдите меньшую боковую
сторону трапеции.

Билет № 19
1. Сформулируйте определение скалярного произведения векторов и
определение угла между векторами. Приведите пример применения скалярного произведения векторов для определения угла между векторами.
2. Сформулируйте определение серединного перпендикуляра к отрезку.
Сформулируйте и докажите свойство серединного перпендикуляра к отрезку.
3. Задача:
4. Задача:
Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D, отличная от точек В и С. Найдите угол
BDC.

Билет № 20
1. Сформулируйте свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Приведите пример вычисления углов при
пересечении параллельных прямых секущей.
2. Сформулируйте теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и докажите один из них по выбору.
3. Задача:
Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры. Найдите катет
треугольника, если периметр полученного четырехугольника равен 12 см.
4. Задача:
Около правильного шестиугольника со стороной 8,5 описана окружность. Около этой окружности описан правильный четырехугольник. Найдите сторону четырехугольника.

Билет № 21
1. Сформулируйте определение косинуса острого угла прямоугольного
треугольника. Приведите пример его применения при решении прямоугольных треугольников.
2. Сформулируйте определение биссектрисы угла. Сформулируйте
и докажите свойство биссектрисы треугольника.
3. Задача:
Площадь ромба ABCD равна 242 см2. Вычислите сторону ромба, если
один из его углов равен 135°.
4. Задача:
К окружности, радиус которой равен 3, из точки, удаленной от центра
окружности на расстояние 5, проведены две касательные. Вычислите расстояние между точками касания.